第一章 绪论
1.1 课题的研究背景与现状
牛顿迭代法(Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method)，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根，牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。
早在六十年代初,Ostrowski以及Traub 等人就已经对非线性方法组的求解问题作了很系统的论述。到了1970年，Ortega，Rheinbdldt又将之前人们得到的重要成果进行了系统的总结,同时也对很多具体的实值解法做了详细的分析，出版了《Itreative Solution of Nonlinear Equation in Several Variables》一书，这本经典的著作对以后研究非线性方程组的迭代方法的学者有着非常重要的影响。
近年来，国内外专家学者对非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。非线性问题是数值分析中一种研究并解决数值计算问题的近似解的数学方法之一。数值是各高校信息与计算科学专业的一门核心基础课程。它既有数学专业课理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性。80年代以前，数值分析课程只在计算数学专业和计算机专业开设，限于计算机的发展，课程的重心在数学方法理论分析方面，是一门理论性较强的课程。近年来，随着计算机技术的迅速发展，以及计算机的普及和应用，数值分析课程也在国内外各大高校得到了迅速的推广。特别是Mathworks公司对Matlab软件的研发，给数值分析课程注入了新的活力。利用Matlab 所含的数值分析计算工具箱，可以进行数值计算方法的程序设计，同时利用图形图像处理功能，可以对数值分析的近似解及误差进行可视化分析，特别是对非线性问题的求解，利用软件计算求解的方法简单多了。
非线性方程、方程组的求解是一个基本而又重要的问题，这是因为它在工程实践、经济学、信息安全和动力学等方面有大量的实际问题最终转化为代数方程组。这一类问题，我们不可能找到它们的解析解，数值解是目前主要的研究方向。数值解法较为成熟、速度快，但其往往只能求出部分解，而且通常只能求出近似解，它一般用于解决大型问题。Newton法是数值方法求解非线性方程组的一种基本方法。根据其特点和不足，对Newton法进行简化和修正。并且与其他数值解法(如区间法)相结合，形成其他更加完善的求解非线性方程组的方法。
1.2 研究迭代法的一些相关知识
非线性现象广泛存在于自然科学、工程、经济学等各个领域， 非线性科学已成为当今科学发 展的一个重要方向. 在利用数学工具来研究这些非线性现象、解决实际问题时， 往往都归结为对形 如 的非线性方程（组）的求解问题. 在许多情况下，非线性方程 都可以被分成两部分： 收稿日期： 2013 -04 -02 基金项目： 河西学院科研创新与应用校长基金项目（xz2012）. 作者简介： 朱睦正 （1978—）， 男， 甘肃民乐人， 讲师， 研究方向： 数值代数. F(x) 0 = F(x Ax x ) : ( ) 0 = − = φ 其中一部分是由常系数线性项组成的线性部分 ，另一部分是由非线性项组成的非线性部分 ， 并且经常遇到的是非线性部分与线性部分相比较是很微小的情形. 即在某种范数下，线性项的范数 强占优于非线性项的范数 ，称之为弱非线性方程［1，2］ . 如果将弱非线性方程看成一般的非线性方程来求解， 从 20 世纪 70 年代以来有很多的数值工作 者们在理论分析和数值解法上做了大量的研究， 也取得了很多的成果， 包括直接解法和迭代解法［3-9］ . 1997 年以来， 中科院白中治老师为求解弱非线性方程 （1） 做了很多卓有成效工作， 陆续提出了 许多新的迭代方法［1·10-13］ . 最近， 笔者在白老师工作的启发下， 为求解弱非线性方程提出了 PicardGPHSS 迭代［2］ ， 其算法描述如下： The Picard-GPHSS iteration method. 令 是连续可微函数， 是正定 矩阵. 给定初始值 和正整数序列 ， 使用下面的迭代格式来计算 直 到满足停止条件： （a） ；
1.3 本文的主要研究内容
本文的主要研究内容可以概括如下： 第一章，概述本课题的研究背景与现状及研究目的与意义，简单介绍一些与求解非线性方程有关的概念、定义和定理，并详细介绍了本文的主要工作内容。第二章，介绍了求解非线性方程的Picard（不动点）迭代法，讨论其收敛的充分必要条件，研究其收敛速度，并尝试应用到非线性方程组的求解中去。第三章，介绍了求解非线性方程的Newton方法，讨论其收敛的充分必要条件，研究其收敛速度，通过数值实验验证了牛顿迭代法求解非线性方程的有效性，并尝试应用到非线性方程组的求解中。第四章，对全文进行总结并对今后求解非线性方程的方法研究进行了展望。
第4章 总结与展望
4.1 总结
本文主要基于Newton迭代法给出了一些改进的方法。在解非线性方程中，最常用的方法就是迭代法，这也是数值分析领域中不可或缺的一种方法。近些年迭代法虽然在理论上已经趋于成熟，但是对于实际生活中很多复杂多变的非线性方程，迭代法也是很难解决，因此需要进一步的改进和完善。在本论文中我们首先介绍了一些相关的背景知识，详细介绍了二阶的Newton迭代法，它在求解非线性方程中的地位是不可替代的，很多学者都是在Newton迭代法的基础上进行改进和变形。第二章中我们给出了一些三阶收敛的改进方法，它们都是迭代法中比较经典和通用的方法，比如三阶的Chebyshev迭代法和Halley迭代法等，以及基于于Adomian分解法和数值积分产生的三阶收敛法。这些改进后三阶迭代法都具有很高的实际应用价值。
4.2 展望
我们在研究非线性方程求解中，主要还是围绕单根的算法研究，停留在收敛阶和效率的问题上。然而现实生活中很多复杂、繁琐的非线性方程往往可能是多重根问题，对于这类问题的研究目前国内外都比较少，我们需要更多的学者参与研究和讨论。关于单根也并非收敛的阶越高越好，我们不能盲目的为了提高阶数而忽略计算量，要在较少计算量的同时提高阶数和效率。在往后的研究工作中希望能提出一些更有针对性的方案，解决实际问题，提高迭代方法的实际应用价值。
参考文献 略
